Konkrétně je nějaký výraz, který když vydělíme, výsledek bude v limitě nulový. Pokud rozvineme do Taylorova polynomu více funkcí, můžeme dostat více "malých o" a musíme znát, jak se s nimi vypořádat. Platí tato jednoduchá pravidla:
Metody výpočtu limit Základním způsobem výpočtu, se kterým jsme se už setkali u limit jedné proměnné je přímé dosazení. Pokud nám vychází neurčitý výraz, můžeme si ještě vypomoci úpravami typu vytýkání a krácení. Jinak je ale náš arsenál určování číselné hodnoty limity velmi omezený, např také proto, že nelze obecně použít L'hospitalovo pravidlo. Častěji se setkáváme se situacemi, kdy dokazujeme neexistenci limit. Tyto důkazy stojí na tom, že pokud potvrdíme závislost hodnoty limity na směru, z jakého přistupujeme k bodu, tak dokážeme neexistenci limity. Metoda postupných limit Tento způsob vezme limitu dvou proměnných, první do ní dosadí x-ovou hodnotu zkoumaného bodu a pak y-ovou hodnotu a vypočítá limitu. Poté udělá to samé, akorát zamění pořadí dosazování. Když se hodnoty limit liší, je dokázáno, že limita neexistuje. Důležité: U této i dalších dvou metod (svazku přímek a svazku parabol) platí, že tyto metody jsou schopny pouze dokázat neexistenci limity. Pokud nám vyjde číselné řešení, není to důkaz, že limita má opravdu tuto hodnotu.
Limity Posloupnost reálných čísel často zadáváme vzorcem pro výpočet n-tého členu, nebo rekurentním vzorcem. Ten počítá z jednoho, či více předcházejících členů další člen posloupnosti. Často je zapotřebí pouze jeden počáteční člen. Matematické vyjádření rekurentního vzorce je potom: x i+1 =f(x i), kde f je reálná funkce jedné reálné proměnné. Výpočet každého nového členu posloupnosti (v podstatě se neliší od výpočtu členů předchozích) nazýváme další iterací. Konverguje-li naše posloupnost (existuje vlastní limita posloupnosti {x i}), blíží se generované členy její limitě a výpočtem dostatečného počtu členů lze potom hodnotu limity odhadnout. Neblíží-li se naopak generované členy určitému číslu (hodnotě limity), nebo dojde-li při iteraci k chybě #ČÍSLO!, lze usuzovat, že posloupnost diverguje. Iterační metody se používají často v numerické matematice i v přírodovědě. V této kapitole ukážeme jak na iterace Excelem. Posloupnost je zadána vzorcem pro výpočet n-tého členu. Na listu Excelu generujeme sloupec přirozených čísel.
Speciální případ, kdy jsme schopni určit hodnotu limity zahrnuje limitu tvaru Pokud limita funkce g ρ jde limitně k nule a funkce h φ je ohraničená, pak má limita hodnotu L.
Vedle buňky s číslem 1 zapíšeme vzorec pro první člen naší posloupnosti. Místo hodnoty n píšeme v tomto vzorci odkaz na tuto buňku, ve které je hodnota n=1. Vytvořený vzorec potom kopírujeme směrem dolů pro další přirozená čísla, další n (viz následující příklad). Příklad: určit limitu posloupnosti Eulerovo číslo - definice limitou Řešení je na následujícím obrázku: Výpočet limity posloupnosti. Z matematiky víme, že limita této posloupnosti existuje a je rovna Eulerovu číslu e. Ve sloupcích A a B jsou generovány členy této posloupnosti. Pro každou hodnotu n ve sloupci A je na stejném řádku ve sloupci B spočtena hodnota příslušného členu posloupnosti. Ve sloupcích D a E je tabulka, která ukazuje, jak se členy naší posloupnosti blíží Eulerovu číslu e (ve sloupci E) s růstem hodnoty n (ve sloupci D, n=10, 100, 1000, 10000). V buňce E7 je hodnota e vypočtená jako exp(1). Posloupnost je zadána rekurentním vzorcem Konvergentní a divergentní posloupnost. Hledejme odhad limity posloupnosti zadané vzorcem x i+1 =3-exp(-2*x i).
Z MatWiki Několik málo triků, jak se vypořádat s limitami funkcí. Obsah 1 Spojitost 2 Známé limity 3 Vytknutí největšího řádu 4 Rozdíl odmocnin 5 Typ x na ixtou 6 L'Hospitalovo pravidlo 7 Taylorovo pravidlo 8 Dodatky Spojitost Je-li funkce spojitá v, pak Reálně to znamená asi tolik: pokud dosadíte v limitě za a nedostanete nedefinovaný výraz, máte řešení limity. Nedefinovanými výrazy jsou: Známé limity Několik limit, které je dobré si pamatovat a hledat je ve složitějších limitách. pro všechna (každá kladná mocnina "jde do nekonečna rychleji" než logaritmus) pro všechna (exponenciála "jde do nekonečna rychleji" než každá mocnina) Velice často se tyto známé limity vyskytují ve složené funkci, tedy např. Je však potřeba ověřit větu o limitě složené funkce. V tomto případě to znamená zkontrolovat, že vnitřní funkce je na okolí monotonní. V absolutní většině příkladů, se kterými se setkáte, je věta splněna, avšak je potřeba to zkontrolovat. Přesné znění je uvedeno ve spodní části stránky.
Vytknutí největšího řádu Nejlépe asi vidět na příkladu: Vidíme, že jde o neurčitý výraz tvaru "nekonečno děleno nekonečno". Čitatel i jmenovatel podělíme největším řádem, tedy: Přestože jsme úpravou dostali "škaredší" výraz, můžeme již využít spojitosti a dosadit. Rozdíl odmocnin Opět ilustrujeme na příkladu Při dosazení bychom dostali "nekonečno mínus nekonečno. Využijeme tedy známého vzorce akorát v trochu zmutované podobě, totiž: Příklad se tedy převede na Opět "vizuálně škaredší" výraz, avšak již nejde o neurčitost! Po dosazení vidíme, že jde o "-2 děleno nekonečno", tedy 0. Typ x na ixtou Tímto způsobem se vypořádáváme s neurčitostmi typu či. Využije se identity, která zřejmě platí pro všechna kladná. Protože, převedeme "mocninnou neurčinost" na součin. Jako příklad uvedeme známou limitu: Vidíme, že závorka se pro velká x blíží do 1, exponent do nekonečna. Použijeme tedy uvedenou identitu a upravíme. Všimněte si důležité úpravy, která jde téměř vždy ruku v ruce s výrazem typu "x na ixtou" - totiž prohození exponeniální funkce s limitou.
Oprávnění k této operaci nám dává spojitost funkce. Tento výraz můžeme přepsat následujícím způsobem: Nyní využijeme známé limity tvaru pro a také pro. S odvoláním se na větu o limitě složené funkce vidíme, že a tedy L'Hospitalovo pravidlo Možná nejdůležitější pravidlo pro počítání limit. Zní následovně: Máme-li funkce a, jejichž derivace jsou konečné a, pak platí!!! POKUD!!! 1) Limita vpravo existuje 2) Buď pro nebo, Co z toho vyplývá? Je NUTNÉ zkontrolovat, že je neurčitost typu "0/0" nebo "nekonečno/nekonečno". Jinak by věta neplatila a dostali bychom špatný výsledek. Dále je potřeba si uvědomit, že pokud limita vpravo, tj., neexistuje, neznamená to, že neexistuje původní limita. Věta říká pouze: Pokud limita napravo existuje, pak existuje i limita nalevo a tyto limity jsou si rovny. Příklad: Snadno pomocí věty o dvou policajtech (viz Dodatky) se ukáže, že tato limita je rovna 1. Podívejme se, co nám řekne pan l'Hospital. Tato limita však neexistuje! Jako cvičení si můžeme pomocí l'Hospitalova pravidla spočítat limity v sekci Známé limity.
Část zadaného výrazu nám připomíná známou limitu \(\displaystyle \lim_{y\to 0}\frac{\log(1+y)}{y}=1, \) a proto si zadanou funkci na prstencovém okolí \(0\) automaticky upravíme na \(\displaystyle \frac{\log(1+\sin x)}{x}=\frac{\log(1+\sin x)}{\sin x}\frac{\sin x}{x}. \) Zadaná limita je tedy rovna \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\log(1+\sin x)}{x} =\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+\sin x)}{\sin x}\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} =\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+\sin x)}{\sin x}. \) Nyní použijeme větu o limitě složené funkce pro \(g(x)=\sin x\), \(f(y)=\frac{\log(1+y)}{y}\). Víme, že \(\displaystyle \lim_{x\to 0}g(x)=0\), a že \(\displaystyle \lim_{y\to 0}f(y)=1\). Navíc na prstencovém okolí \(P(0{, }1)\) platí \(g(x)=\sin x\neq 0\). Proto podle věty o limitě složené funkce je limita na pravé straně rovna \(1\), a tedy i zadaná limita je rovna \(1\).